超導量子位元(科普版)

Author:Peir-Ru Wang
\(\to\)English Version
Update
(11)2025.02.07：QPU拓墣
(10)2025.02.06：電子顯微鏡下的超導量子位元
(09)2025.02.05：其他種類的Qubit
(08)2025.02.04：超導量子電腦長什麼樣子？
(07)2025.02.03：當前主流超導量子位元的種類
(06)2025.02.02：淺談超導電路量子位元的種類
(05)2025.02.01：如何送訊號到量子位元？
(04)2025.01.24：早年超導量子位元的種類
(03)2025.01.12：超導量子位元是什麼呢？
(02)2025.01.10：約瑟夫森節
(01)2025.01.06：主題建立

  1. 約瑟夫森節

    2. 以超導製作的量子位元基本上都脫不開約瑟夫森節（Josephson Junction）。約瑟夫森節是一種三明治結構，以兩個超導體中間夾一個非超導態的物質，因為量子效應，超導電流可以透過穿隧效應穿越這層非超導層。常見製作材料為鋁基（Al）或是鈮基（Nb），在基板上鍍一層超導金屬之後，讓表面氧化形成一層薄薄的氧化層（即絕緣非超導層），再鍍上另一層超導金屬，即是一個約瑟夫森節，這種超導-絕緣-超導結構稱為SIS結（Superconductor-Insulator-Superconductor, SIS junction）。

    ▲（a）SIS約瑟夫森節的示意圖。（b）電子顯微鏡下的鋁基SIS節。（c）鋁的超導溫度\(T_c = 1.2K\)，而鈮的擁有單元素裡面最高的超導溫度\(T_c = 9.2K\)，故如果用鈮來做量子位元可以有比較高的穩定度。可是鈮的氧化物\(Nb_2O_5\)與金屬鈮結構差異過大，難以製作成性能良好的約瑟夫森節，故利用多層的材料\(Nb-Re-Al_2O_3-Al-Nb\)，採用氧化鋁當絕緣層搭配薄薄的\(Re\)、\(Al\)當結構緩衝層。這種緩衝手法再現今半導體製程上也很常出現（異質整合），緩衝層大概約兩三層原子，作為橋接兩個晶格常數不匹配得材料。在量子材料中另一個很常見的量子效應-鄰近效應（Proximity effect），即塊材的波函數會完全進入到薄膜層，使得薄膜的物理性質「變成」塊材的物理性質。在這邊也會因為鈮超導的鄰近效應，使得緩衝層也變為超導性，故這個多層結構也是SIS。
    Ref:10.1557/mrs.2013.229

    ▲Nb的約瑟夫森節例子
    Ref:David Schuster of Stanford University
    https://www.anl.gov/article/resurrecting-niobium-for-quantum-science
    https://schusterlab.stanford.edu/research.html

    ▲量子效應是很脆弱的，事實上約瑟夫森節非常脆弱，要形成良好的絕緣層「並」整合在三明治結構中是非常挑戰的。如果結構中有不良的缺陷，會導致量子位元退相干、產生錯誤。故科學家也不斷的思考不同的解決方案。圖b為一種理論建議，利用收窄的效果，使局部失去超導性，即自然形成一個約瑟夫森節（ScS）。
    Ref:10.1103/PhysRevA.110.012427
    https://quantumzeitgeist.com/superconducting-qubits-get-boost-with-novel-constriction-design/

  2. 超導量子位元是什麼呢？

    3. 在古典計算中，一系列古典位元以0或1兩個狀態來紀錄資訊，同樣的，量子位元也是利用不同的量子狀態來記錄資訊和計算。最簡單的量子能階概念即為量子簡諧震盪(Quantum Simple Harmonic Oscillator)。想要用電子電路來實踐簡諧震盪，最簡單的方式就是一個\(LC\)電路，由一個電感\(L\)與一個電容\(C\)組成，可以見下圖（a）。古典的簡諧震盪是連續的，但在量子世界裡能階簡諧震盪是不連續的，可以利用不同能階來記錄訊息，我們習慣以\( \ket{0} \)、\(\ket{1}\)、\(\ket{2}\)...或\( \ket{g} \)、\(\ket{e}\)、\(\ket{f}\)...代表不同能量的能階，可以參考下圖（b）。可以看到圖（b）每個能階的差距是相同的，都是\(\hbar \omega_r\)。然而當我們要操作量子位元則的時侯，會希望系統被限制在\( \ket{0} \)和\(\ket{1}\)之間作轉換就好，此時就需要非線性元件來區分\( \ket{0} \)和\(\ket{1}\)與其他不想要的能階。約瑟夫森節就是良好的非線性電感元件，如圖（c）。圖（d）可以看到能階差距發生變化，就可以利用能階不圖的特性，來操作量子位元。故最基本的超導量子位元即為一個超導電容與一個約瑟夫森節組成！

    Ref: 10.1063/1.5089550

    ▲此圖也可以很明顯展示超導量子位元能階變化，第二激發態\(\ket{f}\)(或\(\ket{2}\))能量較低。
    Ref: 10.1103/RevModPhys.93.025005

  3. 淺談超導電路量子位元的種類

    4. 以超導為基礎的量子位元可以區分為兩大類：

    • 以超導電路為基礎，採用約瑟夫森節，有時候稱為人造原子（Artificial Atom），單一Qubit尺寸為約為微米\( \left( \mu m \right) \)等級。本文討論即為此類的Qubit。
    • 拓墣量子位元，採用超導體為基底，表面放置奈米線，因為鄰近效應的關係，奈米線會被底層的超導體影響成超導性。施加磁場破壞時間反演對稱性，奈米線兩端會形成特殊的Majorana State。未來會有機會討論\(^a\)。
    \(^a\)10.1038/s41586-022-05585-1
    以約瑟夫森節構成的超導電路，可以參考下圖呈現不同名稱的超導Qubit:

    A系列表示組成一個Qubit最基本的單元，箭頭為概念的延伸方向，我自己會分為四大類：

    • Type A: A1，以單一約瑟夫森節JJ作為量子位元，為較早期的Qubit設計。
    • Type B: A2~A8，以電容並聯(C-shunt)一個JJ為基礎。後期為了更進一步增加Qubit的相干時間，朝向並聯大電感、縮小電容，來減緩雜訊的影響。
    • Type C: A9~A10，此類Qubit針對其中一側的JJ性質做變化\(^{j}\)，使得其基態相位差不為0。實現的方式可以利用較複雜的電路設計\(^{a,b,c}\)、或是將絕緣層替換為磁性材料\(^{d,i}\)、或是採用s-wave搭配d-wave的異質JJ\(^{g,h}\)。
    • Type Hybrid: A11，這類是以超導位元結合自旋量子點（Spin Quantum Dot, Spin QD）的複合\(^{k}\)。此外可以與超流氦形成複合Qubit\(^{e,f}\)、離子井等，可以參考\(^l\)。
    \(^a\)10.1038/s41534-019-0231-2
    \(^b\)10.1088/1367-2630/aab7cd
    \(^c\)10.1088/1367-2630/ab09b0
    \(^d\)10.1038/s43246-024-00659-1
    \(^e\)10.1103/PhysRevA.101.012336
    \(^f\)10.1038/s41467-019-13335-7
    \(^g\)10.1109/TASC.2019.2892078
    \(^h\)10.1088/1361-6668/ab7053
    \(^i\)10.1103/PhysRevApplied.8.054028
    \(^j\)10.1088/0953-2048/21/3/034011
    \(^k\)10.1038/s41567-023-02071-x
    \(^l\)arXiv: 1204.2137
    (A8) https://www.ntt-review.jp/archive/ntttechnical.php?contents=ntr201209fa2.html

    B系列為Type A Qubit搭配控制電路，利用不同控制電路的方式，有不同的名稱，可以參考<早年超導量子位元的種類> 。
    C系列為Type B Qubit搭配控制電路的範例。

  4. 早年超導量子位元的種類

    5. 基本上所有的超導量子位元都奠基在約瑟夫森節為基礎，搭配電容和電感做組合。早年的超導量子位元可以見下圖：

    ▲早期的超導量子位元分成三大類：Charge Qubit、Flux Qubit和Phase Qubit。簡易的概念差別在於主要控制Qubit的手段差異(途中黃色框框)：
    \(\to\)(a)用電壓控制:因為電壓可以改變電容的儲電量，故稱為Charge Qubit
    \(\to\)(b)用磁通量控制:磁通量會改變約瑟夫森節的儲能，稱為Flux Qubit
    \(\to\)(c)用感應電流控制:感應電流會改變約瑟夫森節的相位，稱為Phase Qubit

    Ref: 10.7498/aps.71.20211865

  5. 當前主流超導量子位元的種類

    6. 早期的超導Qubit進一步的演化，可以參看下圖：

    早期的超導Qubit容易受到雜訊的影響，需要仰賴外部控制電路來形成能階，外部控制電路常常是大型控制儀器（這裡指的「大型」是相對於微米等級的JJ，讀者可以想像就是日常電腦等級的大小，特徵尺度為公分），如此大型的積體電路就會有許多古典雜訊，會導致量子位元退相干。為了提升保真度(Fidelity)，將一個電容\(C\)並聯，構成所謂的Transmon。此時一個Transmon即構成一個\(LC\)電路，有自身量子化的能階。

    因為Transmon有自身的量子頻率，若要控制Transmon進行量子運算，需要精準的頻率控制與其共振來改變其量子態。當進行大型量子電路發展時，一條控制線或讀取線常會串連多個Qubit，此時如果彼此頻率太相近，會導致訊號影響到頻譜上鄰近的Qubit，是crosstalk的成因之一。調控頻率的方式需從改變電容職值\(C\)或是約瑟夫森節的電感值\(L_J\)做調整，必須從製程上進行參數調控，但要在製程中同時精準控制不同Qubit間的頻率隔離，非常的複雜。加上製成可能造成的誤差，一旦離開製程階段便無法調整，容易造成良率下降。此外，約瑟夫森節實際上會隨時間（每個月甚至每天）偏離原本預設的頻率，這是由於材料異質接面常見的物體，會因為原子移動、缺陷移動等擴散，慢慢改變接面的形狀，一旦頻率偏離過大，整個電路就會失效。故尋找可以「後天調頻」的Transmon顯現其重要性。科學家採用兩個JJ構成的SQUID來構成Tunable Transmon，透過兩個JJ之間的磁通量，可以調控Transmon的頻率。如此一來便可以在量子計算時，同步校正每個Qubit，並達到頻率隔離。構成Tunable Transmon的雙約瑟夫森節可以是相同的（對稱Symmetric）或是不同的（非對稱Asymmetric）。對稱的設計有較大的頻率可調範圍，但相對的就極異受調控磁通量的雜訊；反之對稱的設計雖然頻率可調範圍較小，但頻率的穩定度就較高。

    一個Transmon雖然脫離對外部控制儀器的依賴，但因為其加入一個電容\(C\)，電容是利用正負電荷分離來進行儲能，可以想像這是一個微米等級的偶極，極易受到電磁訊號的干擾導致退相干。在電路設計上，常利用電感當作濾波、抗干擾的元件，科學家便從其中一側的約瑟夫森節著手，改成串連許多約瑟夫森節構成一個電感\(L\)，稱為Fluxonium。目前Fluxonium可以達到微秒等級的退相干時間。

    更進一步提升Qubit的穩定度，目前方向是不斷提升電感\(L\)、並減少電容\(C\)，有一系列的發展稱為Blochnium。可以參考下面兩張圖，不同的超導Qubit實際上就是調整\(L\)、\(C\)和\(J\)。

    ▲此圖右半部說明Transmon和Blochnium概念的對偶，Transmon是「非線性電感」搭配電容，Blochnium可以看成是「非線性電容」搭配電感。
    Ref: 10.1038/s41586-020-2687-9
    Ref: ar5iv.labs.arxiv.org/html/1907.02937

    Ref: 10.1038/s41467-022-34614-w

  6. 電子顯微鏡下的超導量子位元

    7. arxiv.org/pdf/2106.11352
    ▲首先可以先欣賞一下Transmon的 layout。（a）顯微鏡底下的電路圖，（b）對應的電路圖，此圖中有一個 Qubit（紅色 Transmon）、一個 readout resonator（天藍色），兩條 feed\mathcal{L}ine 個別驅動（Drive）量子位元與 readout resonator。各元件間利用電容作耦合。另外有一條 Flux line 連到 Qubit 旁，會產生磁場來改變 Transmon 的操作頻率。（c）readout resonator 因為與量子位元耦合，會受到量子位元在 \(|0\rangle\) 或 \(|1\rangle\) 狀態的差異產生頻譜的位移，利用 readout resonator 頻譜的位移的特性來得知量子位元的狀態。

    ▲從其中一側的約瑟夫森節著手，改成串連許多約瑟夫森節構成一個電感\(L\)，稱為Fluxonium。
    Ref: 10.1038/s41467-021-26686-x

    ▲Blochnium可以說是電感進一步串連的Fluxonium。其立體結構非常有趣。
    Ref: 10.1038/s41586-020-2687-9

    ▲另一張Fluxonium/Blochnium中的約瑟夫森節陣列蝕刻製程的圖片。此圖可以很明顯地看出捲鬚結構是由一連串的約瑟夫森節串連而成。
    Ref: arxiv: 2411.10396

  7. 其他種類的Qubit

    8. 前文提到複合形式的超導量子位元，這邊簡述一些其他的量子位元。量子位元的應用上，一方面要求量子位元要容易控制，一方面也希望量子位元不容易受到雜訊干擾、延長退相干時間。然而目前這兩個需求是衝突的，容易控制意味著易受影響、反之穩定度高意味著難以控制。 因為不同量子位元的種類有不同的特性，發展在同一個整合不同的量子位元、甚至是複合量子位元，便是一個可行的方向。
    Ref: arxiv: 2303.04061

    (a) 超導量子處理器 (Superconducting Quantum Processor)
    由約瑟夫森結與電容組成的人工原子陣列，透過微波電子學進行控制。
    Qubit數量：~100
    Quantum Gate保真度： Single Qubit Gate \( F_1 > 99\% \)，2 Qubit Gate \( F_2 > 99\% \)
    優勢：快速操作、高度可控性與良好可擴展性
    挑戰：串擾、高冷卻需求、大規模擴展挑戰

    (b) 捕獲離子量子計算 (Trapped Ion Quantum Computing)
    利用雷射冷卻的原子離子，透過射頻電場捕獲，並用雷射操控。
    Qubit數量：20–30
    Quantum Gate保真度： Single Qubit Gate \( F_1 > 99.9\% \)，2 Qubit Gate \( F_2 > 99\% \)
    優勢：超長相干時間、高精確度、可重新配置連結
    挑戰：技術上難以進行大規模整合

    (c) 半導體自旋量子計算 (Semiconductor Spin-Based Quantum Computing)
    利用半導體量子點中的電子或空穴自旋作為Qubit。
    Qubit數量：6
    Quantum Gate保真度： Single Qubit Gate \( F_1 \approx 99.99\% \)，2 Qubit Gate \( F_2 \approx 99.5\% \)
    優勢：技術成熟、相干時間長、小占用空間
    挑戰：需納米級製造精度

    (d) NV 中心量子計算 (NV Center Quantum Computing)
    在鑽石中的點缺陷，利用電子與核自旋的長相干時間進行運算。
    Qubit數量：10
    Quantum Gate保真度： Single Qubit Gate \( F_1 \approx 99.995\% \)，2 Qubit Gate \( F_2 \approx 99.2\% \)
    優勢：可在室溫操作、高靈敏度、適用於量子網路
    挑戰：難以大規模擴展

    (e) 中性原子陣列量子計算 (Neutral Atom Array Quantum Computing)
    利用光鑷捕獲中性原子，透過 Rydberg 作用控制原子相互作用。
    Qubit數量：
    數位處理器：24
    類比模擬器：289
    優勢：同時支持數位運算與類比模擬，具良好擴展性
    挑戰：2 Qubit Gate保真度需提升

    (f) 核磁共振 (NMR) 量子計算
    使用分子中的核自旋進行運算。
    Qubit數量：12
    Quantum Gate保真度： Single Qubit Gate \( F_1 \approx 99.98\% \)，2 Qubit Gate \( F_2 \approx 99.3\% \)
    優勢：室溫操作、長相干時間、適用於數位模擬
    挑戰：難以擴展至大規模系統

    (g) 光量子計算 (Photonic Quantum Computing)
    透過單光子或電磁場模式的共軛變數來操控量子資訊。
    Qubit數量：18（具個別控制）、255（九章 3.0）
    Quantum Gate保真度： Single Qubit Gate \( F_1 \approx 99.84\% \)，2 Qubit Gate \( F_2 \approx 99.69\% \)
    優勢：抗退相干能力、室溫操作、適用於分佈式計算
    挑戰：光子-光子閘難以實現

    (h) 拓撲量子計算 (Topological Quantum Computing)
    基於non-abelian Anyon 的拓撲編碼，透過編織操作進行運算。
    Qubit數量：實驗中
    Quantum Gate保真度：N/A
    優勢：天然拓撲保護機制、大規模糾錯潛力
    挑戰：尚在發展中

  8. 超導量子電腦長什麼樣子？

    9. 完整的超導量子電腦至少需包含：氦3極低溫真空環境、冷卻系統、大量的射頻訊號控制與讀取儀器等，故當前的超導量子電腦非常的巨大。此外，一個量子位元至少需要四條線路：

    • 控制頻率*1：挑控磁通量的Fluxline。
    • 控制狀態*1：Driveline。
    • 讀取狀態*2：Readout line一進一出。
    可以參考下圖：

    https://arxiv.org/pdf/1612.08208
    ▲要達到量子計算，需要同時操作許多 Qubit，同時因為糾錯的關係，也需要額外的 Qubit 來進行糾錯。上圖是一個 17 位元的實驗性量子晶片，排列方式是一種稱為 surface code（表面碼）的量子糾錯型態，原形為 Qubit，粉色及紅色是 Data Qubit，天藍色及綠色是 Check Qubit。每個 Qubit 都連接 7 條線（暱稱為 Starmon），其中 4 條為 Qubit 間耦合、1 條 Flux line、1 條 Drive line、1 條 Readout resonator。Readout resonator 分別併入到三條 feedline。雖然當前的技術可以將多個Qubit的Readout line整合在一起，透過頻率隔離的技術共用同一條Readout line（所謂Feedline），但我們還需要考慮控制量子位元間交互作用的Resonator，一個100位元的量子電腦原型就需要400條線路從外部送入，故目前常見的超導量子電腦可以看見大量的線路。

    arxiv: 2408.12433
    量子位元間交互作用的Resonator/Coupler可以是可調控的，可進一步調控不同Qubit之間的耦合強度，但亦會增加控制電路的複雜度。

    Ref: IBM

    Ref: Google

    Ref: IQCC and Quantum Machines

    ▲IQM公司繪製出量子電腦低溫腔內的細節設計圖。
    Ref: IQM

  9. 如何送訊號到量子位元？

    10. 前文介紹量子電腦複雜的硬體設計，本節稍微介紹一下超導電腦控式訊號的線路設計。控制訊號由任意波形產生器(AWG)生成數位訊號，透過數位-類比轉換器(DAC)轉換成類比訊號，通過層層的濾波器送入到量子位元電路中，然後回饋出來的訊號再通過類比-數位轉換器(ADC)換成數位訊號由儀器量測。

    Ref: arxiv: 2303.15547

    前文圖片中可以見到大量的線路層層穿越低溫腔進入到量子位元中，如此複雜的線路需要精密的設計、降噪、隔熱，容易增加成本和出錯率，造成大型化（scalable）的困難度。以下講解兩種可能的方案，試圖減少穿越的線路。

    ▲光纖方案，（a）是傳統控制線路，（b）採用不同波長的載波混波技術，將控制訊號透過光電轉換器放到對應的載波上，通過光纖束進入到腔體中，再轉換回控制Qubit的控制訊號。
    Ref: DOI: 10.1038/s41586-021-03268-x

    ▲透過Qubit頻率隔離，並且利用設計過的控制頻譜訊號，使得Qubit之間的控制可以隔離開來，便可通過單一控制線路控制多個Qubit。
    arXiv:2501.10710v1

  10. QPU拓墣

    11. 在這邊簡單提一下量子處理器QPU設計。當前量子電路是二維電路，Qubit間的交互作用在電路上常只能與鄰近的Qubit連接。再搭配目前常見的糾錯設計（QEC）是表面碼（Surface code）採用四邊形的設計，所以當前的QPU，每個Qubit僅需四個coupler與鄰近Qubit耦合。製造商IQM亦提供新的QPU設計，試圖加入Computational Resonator，構造出更進階的量子計算方式，未來有機會可以撰文解說。

    Ref: IQM
    Ref: Arxiv: 2408.12433

  11. 如何控制超導量子位元

    12. 最常見的作法為拉比震盪（Rabi Oscillation），透過施加特定頻率的電場震盪脈衝（Pulse） \( P(t) \)。先來看 Qubit 受到 \( \pi \) -pulse從 \( |\ 0\rangle \rightarrow |\ 1\rangle \)，利用 Bloch 球進行可視化：

    控制 Qubit 的主要參數

    • 脈衝的振幅（Amplitude \( A \)）： 改變 Qubit 的狀態（Block sphere 的轉角）
    • 脈衝的時長（Duration \( T \)）： 改變 Qubit 的狀態（Block sphere 的轉角）
    • 脈衝的頻率（Frequency \( \omega_d \)）： 決定是否能精確驅動 Qubit
    • 脈衝的包絡（Envelop \( F(t, \tau) \)）： 影響漏態（Leakage）
    一個完整的脈衝可以表達為： \[ P(t) = A \cdot F(t, \tau) \cdot \sin(\omega_q t) \] 舉例如下：

    一般來說因為Qubit相干時間很短，會希望盡可能短的時間操作完Qubit的運算，以超導量子位元而言，相干時間能維持達微秒（μs）當前的技術而言已經很久了，故超導量子位元脈衝多半固定在奈秒等級（\(ns\)）。故操作Qubit的狀態一般採用調控脈衝的振幅的大小來決定轉角。
    (以10.1103/PRXQuantum.5.030353為例，實驗中驅動大約\(10ns\)左右)

    可以藉由 Bloch 球進行可視化，在這邊畫出對\( X \) 軸轉 \(0.25\pi \)、\( 0.5\pi \)、\(0.75\pi\)和\(\pi\)-pulse。可以發現說利用振幅的大小可以決定轉動的角度。

    同樣的，也可以討論利用不同脈衝的時長\(T\)來達到相同的 \( \pi \) -pulse從 \( |\ 0\rangle \rightarrow |\ 1\rangle \)

    當然，讀者也許會想說，既然超導Qubit相干時間很短，那脈衝的時長\(T\)越短越好。下一節我們就會提到，越尖的脈衝會引入更多不相關的震動頻率，導致Qubit的操作出現誤差。實務上，如何決定脈衝的時長\(T\)與脈衝的震幅\(A\)，一直是Qubit日常校正的一環。良好的校正會得到優質的量子計算效果，反之，光是誤差就可以導致計算不如古典電腦來的準確。

    Pulse shape:
    10.1103/PRXQuantum.5.030353
    10.1103/PhysRevLett.116.020501

  12. 控制誤差1-頻率失諧

    13. (Coming soon.)

後記
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