量子隨寫

2025.04.12: Hybrid Type of Fluxonium (QuTech, 2021)

本篇為參考QuTech的演講\(^a\)。
演講中列舉五種QuTech在研究的量子位元：超導量子位元、自旋量子點量子位元、氮空缺鑽石量子位元（NV center）、Andreev量子位元、和拓墣量子位元。

有趣的是，除了氮空缺量子位元之外，自旋量子點量子位元、Andreev量子位元、和拓墣量子位元多少都與超導有關。

• 自旋量子點量子位元操作的溫度\( \leq 1K\)，其操作的電極常進入超導狀態。可以參考\(\to\)後續文章。
• Andreev量子位元是利用Andreev反射製作的量子位元。可以參考\(\to\)後續文章。
• 拓墣量子位元常使用奈米線放置在超導體上，利用鄰近效應（Proximity Effect）使奈米線產生超導性，並在端點產生拓墣量子態。

個別的量子位元各有優缺點，故如果能整合不同的量子位元，有機會截長補短，製作效能更好的量子位元。這邊介紹的就是超導量子位元Fluxonium複合拓墣量子位元。

這邊採用的拓墣量子位元是\( InAs \)奈米線。

Ref:
\(^a\)Youtube: "Hybrid Devices for Quantum Computing" by Marta Pita @ QuTech, TU Delft, https://www.youtube.com/watch?v=DWfjBdQMYCI
\(\to\)Gate-Tunable Field-Compatible Fluxonium, 2020, 10.1103/PhysRevApplied.14.064038

2025.04.13: Andreev Bound State (2010)

所謂Andreev反射是發生在非超導/超導接面中。因為超導體的原理是兩個電子形成的Cooper Pair，但是非導體中移動的載子是個別的單一電子，當單一電子從半導體穿隧進入到超導體時必須形成Cooper Pair，電荷守恆的要求下就會反射一個電洞。如果是超導/非超導/超導串接，中間的非超導區域會形成Andreev Bound State。

Ref:
\(\to\)"Andreev bound states in supercurrent-carrying carbon nanotubes revealed", 2010, DOI: 10.1038/nphys1811

2025.04.14: Transmon-Spin Hybrid Qubit (2024)

前幾天由QuTech的演講\(^a\)引出整合不同量子位元的方向。本篇介紹由Transmon整合Spin Qubit的有趣工作。

引用自\(^b\)，因為自旋接面的關係，約瑟夫森節的特性與自旋相關，造成不對稱的特性。

引用自\(^c\)，利用將SQUID其中一側的約瑟夫森節改成自旋接面。可以透過超導電流去讀取自旋位元的狀態。 這類研究的想法是因為超導量子位元是目前最容易驅動量子電路，而傳統自旋位元雖然有較長的相干時間，但操控上不若超導量子位元來得容易。 故如果利用超導量子電路整合自旋位元，可以利用已經成熟的circuit QED來驅動自旋位元。

引用自\(^d\)。前一個研究建立的超導電路與單自旋量子位元，但要實現量子計算，就需要多個量子位元實現交互作用。進一步的實驗實現了利用超導量子電路將兩個不相鄰的自旋量子位元產生可調控的耦合交互作用。

引用自\(^d\)的Supplement。利用超導量子電路將兩個不相鄰的自旋量子位元產生可調控的耦合交互作用實驗中的電路示意圖。

Ref:
\(^a\)Youtube: "Hybrid Devices for Quantum Computing" by Marta Pita @ QuTech, TU Delft, https://www.youtube.com/watch?v=DWfjBdQMYCI
\(^b\) "Talks - Quantum Matter for Quantum Technologies 2024 - Marta PITA-VIDAL, IBM Zurich/TU Delft", https://www.youtube.com/watch?v=VEFzm_DcQ08
\(^c\) "Singlet-Doublet Transitions of a Quantum Dot Josephson Junction Detected in a Transmon Circuit", 2022, DOI: 10.1103/PRXQuantum.3.030311
\(^d\) "Strong tunable coupling between two distant superconducting spin qubits", 2024, DOI: 10.1038/s41567-024-02497-x

2025.04.16: About Quantum Signal Amplify

本篇主要參考"A quantum engineer’s guide to superconducting qubits (2019)" \( ^a \)。
實現量子計算需要透過訊號去量測量子位元處在的量子態(Readout)。古典世界中量測手段基本上不影響被量測古典物理系統的狀態，換成物理的話來說就是量測的Hamiltonian遠小於系統的Hamiltonian。然而，量子世界裡量測訊號的數量級與系統常處在相同、甚至大於系統的能量級，故理解量測對於量子資訊是非常重要的議題。

為了避免過度干擾量子位元，超導量子電路需要降低Readout的能量，但是微弱的訊號會造成過低的訊噪比（s/n ratio, signal/noise ratio），常導致噪訊嚴重干擾整個訊號讀取。故如何將微弱的量子訊號“有效的”放大是非常重要的。

所謂“有效的”放大，是指滿足量子力學的情況下，以逼近量子極限的方式放大訊號。放大的概念簡單的說是如下過程: \[ s_{in} \to s_{out}=\sqrt{G} * s_{in} \] \(\sqrt{G}\)是放大參數。量子世界裡訊號是以頻率波包呈現，波包的量子化即是光子，光子必須滿足量子力學中的commutator relation: \[ [a_{\omega},a_{\omega}^\dagger]=1 \] \(a_{\omega},a_{\omega}^\dagger\)分別是描述消滅、產生一顆頻率為\({\omega}\)光子的過程。如果以\(a_{\omega_{in}},a_{\omega_{in}}^\dagger\)表示放大前的光子訊號、\(a_{\omega_{out}},a_{\omega_{out}}\)表示放大前的光子訊號，都必須滿足前述的commutator relation，導致： \[ a_{\omega_{in}} \to a_{\omega_{out}}=\sqrt{G} * a_{\omega_{in}} \to \textcolor{red}{impossible !} \] 是無法實現的。有趣的是，量子世界裡我們可以透過其他頻率的真空漲落來實現，稱此頻率為Idler mode \(\omega_I\)，描述的量子符號假設寫為\(b_{\omega_I},b_{\omega_I}^\dagger\)，量子放大的過程可以寫為： \[ a_{\omega_{in}} \to a_{\omega_{out}}=\sqrt{G} * a_{\omega_{in}}+\sqrt{-1} * b_{\omega_{I}}^\dagger \]

要在超導量子電路中實踐有效的量子訊號放大，其中一種方式為利用約瑟夫森元件Josephson Junction製作而成的約瑟夫森參數放大器（Josephson Parametric Amplifier, JPA）。 根據能量守恆，想要放大訊號的能量，就需要輸入能量來提供額外的能量（Pump）。JPA常見的能量輸入有兩種，Current-Pumped（\(\to\) here）或是Flux-Pumped（\(\to\) here）。

Ref:
\( ^a \) "A quantum engineer’s guide to superconducting qubits (2019)", doi: 10.1063/1.5089550

2025.04.17: About Current-Pumped Josephson Parametric Amplifier (JPA)

延續前一篇提到量子訊號放大，本文參考\( ^{a,b} \)來介紹 Current-Pumped的JPA。

上圖(a)約瑟夫森節顯微鏡的圖(b)Current-Pumped JPA的物理原理(c)Flux-Pumped JPA的物理原理。本圖引用自\( ^{a} \)

利用約瑟夫的特性：(可以參考超導量子位元) \[ \frac{I\left( \Delta \psi \right)}{I_c}=sin \Delta \psi \] \[ L\left( \Delta \psi \right)=\frac{L_0}{cos \Delta \psi}\to L\left( I \right)= \frac{L_0}{\sqrt{1-\left( \frac{I\left( \Delta \psi \right)}{I_c}\right)^2}} \] 第一條式子可以想成施加電流\(I\)時，會對兩邊超導體形成\(\Delta \psi\)的相位差，帶入第二條可以理解為透過施加的電流可以控制電感大小\(L\)。 Current-Pumped JPA會施加頻率為\(\omega_p\)的交流電，作為能量來源。

上圖為第一個實踐Current-Pumped JPA的論文介紹。引用自\( ^{b} \)

Ref:
\( ^a \) "Superconducting Parametric Amplifiers: The State of the Art in Josephson Parametric Amplifiers (2020)", Jose Aumentad, doi: 10.1109/MMM.2020.2993476
\( ^b \) "Observation of parametric amplification and deamplification in a Josephson parametric amplifier" (1989), 10.1103/PhysRevA.39.2519

2025.04.18: About Flux-Pumped Josephson Parametric Amplifier (JPA)

前一篇介紹Current-Pumped的JPA，本文一樣參考\( ^{a} \)來介紹 Flux-Pumped的JPA。

兩個約瑟夫森節並聯的電路稱作超導干涉元件(SQUID)，此時因為量子電動力學的特性，量子波函數會與電磁規範場（Gauge Field）耦合，閉環的相位會與磁通量有關。 前文提及電感值\(L\)會與相位有關，故以SQUID製成的元件可以透過外部的Flux line來調控其電感特性。 此時我們可以透過Flux line 來施加頻率為\(\omega_p\)的變動磁通量，作為能量來源。

Ref:
\( ^a \) "Superconducting Parametric Amplifiers: The State of the Art in Josephson Parametric Amplifiers (2020)", Jose Aumentad, doi: 10.1109/MMM.2020.2993476

2025.04.23: Prepare for Quantum Measurement: Interaction Basis

The interaction basis is the same as the interaction picture in standard textbooks.

\[ i\hbar \partial_t |\psi_0(t)\rangle = H_0(t) |\psi_0(t)\rangle \] \[ |\psi_0(t)\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar} \mathcal{T}\left[\int_0^t H_0(\mathscr{t})\,d\mathscr{t} \right]} |\psi_0(0)\rangle \equiv U_0(t)|\psi_0(0)\rangle \]

\[ i \partial_t U_0(t) = H_0(t) U_0(t) \] \[ -i \partial_t U_0^\dagger(t) = U_0^\dagger(t) H_0(t) \]

\[ i\hbar \partial_t |\psi(t)\rangle = [H_0(t) + H_I(t)] |\psi(t)\rangle \] \[ |\Theta(t)\rangle \equiv U_0^\dagger(t) |\psi(t)\rangle \]

\[ \begin{aligned} i\hbar \partial_t |\Theta(t)\rangle &= i \partial_t [U_0^\dagger(t) |\psi(t)\rangle] \\ &= i\hbar \partial_t U_0^\dagger(t) * |\psi(t)\rangle + U_0^\dagger(t) * i\hbar \partial_t |\psi(t)\rangle \\ &= -U_0^\dagger(t) H_0(t) * |\psi(t)\rangle + U_0^\dagger(t)[H_0(t) + H_I(t)] |\psi(t)\rangle \\ &= U_0^\dagger(t) H_I(t) |\psi(t)\rangle = U_0^\dagger(t) H_I(t) U_0(t) U_0^\dagger(t) |\psi(t)\rangle \\ &= U_0^\dagger(t) H_I(t) U_0(t) |\Theta(t)\rangle \end{aligned} \]

\[ i\hbar \partial_t |\Theta(t)\rangle = U_0^\dagger(t) H_I(t) U_0(t) |\Theta(t)\rangle \]

2025.04.24: Sketch on Quantum Error, Error Correction, and Error Protection (I)

量子計算目前遇到很大的瓶頸是高錯誤率，如果以Gate base量子電腦來說，最簡單錯誤分法可以分成單量子位元錯誤（Single qubit error）和閘控錯誤(Gate error)。 這篇先以單量子位元錯誤為討論基礎。

單量子位元錯誤可以從能量的觀點來看，一個量子態的演化遵守薛丁格方程式： \[ i\hbar \partial_t \ket{\psi\left(t\right)}=\hat{H}\left(t\right) \ket{\psi\left(t\right)} \leftrightarrow \ket{\psi\left(t\right)}=e^{-\frac{i}{\hbar}\mathcal{T}\left[\int^t_0\hat{H}\left(\mathscr{t}\right)d\mathscr{t}\right]}\ket{\psi\left(0\right)} \] 這邊\( \mathcal{T}\left[\int^t_0\hat{H}\left(\mathscr{t}\right)d\mathscr{t} \right]\)是time order積分，因為不同時刻的Hamiltonian不一定commute， \[ \left[\hat{H}\left(t_1\right),\hat{H}\left(t_2\right)\right]\neq 0 \] 是量子系統演化比較複雜的部分。如果剛好滿足對易的話，則積分就會回復到常見的形式 \[ \mathcal{T}\left[\int^t_0\hat{H}\left(\mathscr{t}\right)d\mathscr{t}\right]_{\left[\hat{H}\left(t_1\right),\hat{H}\left(t_2\right)\right]= 0} =\hat{H} * t \leftrightarrow \ket{\psi\left(t\right)}=e^{-\frac{it}{\hbar}\hat{H}}\ket{\psi\left(0\right)} \]

2025.04.25: Gatemon

Ref. Gatemons get serious, Nature Nanotechnology (2018), Doi:10.1038/s41565-018-0218-8

Gatemon也是一種以超導材料為基礎的量子位元，結合類似Gate-define spin qubit的架構。在約瑟夫森節的部分導入閘控電壓，來控制量子位元的特性。 上圖中(b.)在Tunable Transmon中，利用flux line通入磁通量來調整SQUID的等效電感，藉此來調整transomon的頻率。 (c,d)則是兩種不同實踐Gatemon的方式。

Ref. Superconducting gatemon qubit based on a proximitized two-dimensional electron gas, Nature Nanotechnology (2018), Doi:10.1038/s41565-018-0207-y

上圖中以\(Al\)基約瑟夫森節，去調控\(InAs\)的2DEG(二維電子氣，2D electron gas)。

2025.04.26: Gatemon (Ge type)

上圖中以\(Al\)基約瑟夫森節，去調控\(SiGe\)的2DEG(二維電子氣，2D electron gas)。 \(SiGe\)在閘控自旋量子位元（Gate-defined spin qubit）很常見，可以參考這邊。 故Gatemon可以想像成是以超導量子電路為基礎，搭配閘控量子位元的控制方式，來探詢不同的量子位元設計。

2025.04.27: Sketch on Quantum Error, Error Correction, and Error Protection (II)

Hamiltonian包含量子位元自身的能量\(\hat{H}_Q\)、控制產生的外部位能\(\hat{H}^I\)、還有噪音\(\hat{H}_N\): \[ \hat{H}\left(t\right)=\hat{H}_Q+\hat{H}^I\left(t\right)+\hat{H}_N\left(t\right) \] 在量子計算時，常會選擇“Rotating Frame”，其實就是Interaction Basis，選擇一個新座標只留下交互作用控制項和噪音： \[ U_Q\left(t\right) = e^{-\frac{i}{\hbar} \mathcal{T}\left[\int_0^t H_Q(\mathscr{t})\,d\mathscr{t} \right]} \] \[ \ket{\Theta(t)}=U_Q^\dagger \left(t\right) \ket{\psi(t)} \] \begin{align} i\hbar \partial_t \ket{\Theta(t)}&= U_Q^\dagger(t) \left(\hat{H}^I(t) +\hat{H}_N(t) \right) U_Q(t) \ket{\Theta(t)}\\ &\equiv \left(\check{H}^I(t) +\check{H}_N(t) \right) \ket{\Theta(t)} \end{align} 這邊用\( \check{H}^I(t) \equiv U_Q^\dagger(t) \hat{H}^I(t) U_Q(t) \)表示選擇Rotating Frame（Interaction Basis）\(\, \hat{} \to \textcolor{red}{\check{}} \)。

2025.04.28: Wafer Scale \(MgB_2\)

\(MgB_2\)作為目前傳統超導體（可由BCS理論解釋的超導）最高的臨界溫度\(T_c =40K\)，有機會作為較高溫度的量子位元應用。 目前常用的超導量子位元材料\(Al, T_c^{Al}=1.2K\)、\(Nb, T_c^{Nb}=9.2K\)，常操作在\(10mK\)低溫下，需要極大的冷卻功率。 當前常說的“Hot Qubit”，實際上是能在\(1K\)穩定操作的量子位元，就已經可以大幅降低冷卻系統的功率。 以薄膜製程而言，當元素不只一種時，就容易有元素比例變動的問題需要解決。 故研制出大尺寸的\(MgB_2\)也是一個技術上重要的進展。

改變超導臨界溫度一直是我非常有興趣的題目，我博士期間的研究就是試圖尋找一個框架來理解如何改變臨界溫度，可以參考這裡。 \(MgB_2\)的臨界溫度亦可以透過薄膜厚度來調整。

2025.04.29: Gate-tunable superconducting diode effect in a three-terminal Josephson device

Non-reciprocal critical current in a Josephson device.